Question

20．已知：如图，在△ABC中，BC=BA，BE平分∠CBA交边CA于点E，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H．
（1）求证：BH=CA；
（2）求证：BG²=GE²+EA²．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质知∠BEA=90°，根据直角三角形的性质即余角的性质得DB=DC、∠ABE=∠DCA，利用ASA证出△DBH≌△DCA即可；
（2）证BE垂直平分AC，则由“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”推知AG=CG．易证DF垂直平分BC，则BG=CG，所以依据等量代换证得AG=BG，在Rt△AGE中，由勾股定理即可推出答案．

解答 解：（1）∵BC=BA，BE平分∠CBA，
∴BH⊥CA，
∴∠BEA=90°，
又CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠BAC+∠DCA=90°，∠BAC+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH与△DCA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠DCA}\\{∠BDH=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC；

（2）如图，连接CG．

∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AG=CG．
又∵F点是BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴AG=BG，BG²=GE²+EA²．
在Rt△AGE中，∵AG²=GE²+EA²，
∴BG²=GE²+EA²．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．