Question

已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=AB+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在BC上截取BF=AB，利用“边角边”证明△ABE和△FBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠FEB，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BCD=180°，然后求出∠2+∠3=90°，从而得到∠BEC=90°，再根据等角的余角相等求出∠CEF=∠CED，然后利用“角边角”证明△CEF和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CF，再根据BC=BF+CF等量代换即可得证．

解答：证明：如图，在BC上截取BF=AB，
在△ABE和△FBE中，

BF=AB ∠1=∠2 BE=BE

，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BEC=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中，

∠3=∠4 CE=CE ∠CEF=∠CED

，
∴△CEF≌△CED（ASA），
∴CD=CF，
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．