Question

6．如图，双曲线y=$\frac{3}{x}$与直线y=$\frac{2}{3}$x+1交于A、B两点，A点在B点的右侧．
（1）求A、B点的坐标；
（2）点C是双曲线上一点，点D是x轴上一点，是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出求解过程和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立一次函数与反比例函数的解析式即可得出A、B两点的坐标；
（2）根据AB两点的坐标可求出线段AB的水平距离与竖直距离，再根据AB为平行四边形的边与对角线两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{x}\\ y=\frac{2}{3}x+1\end{array}\right.$消去y得，2x²+3x-9=0，
解得x₁=-3，x₂=$\frac{3}{2}$，
点A的坐标为（$\frac{3}{2}$，2），点B的坐标为（-3，-1）．

（2）∵A（$\frac{3}{2}$，2），B（-3，-1），
∴线段AB的垂直距离为2-（-1）=3，水平距离为$\frac{3}{2}$-（-3）=$\frac{9}{2}$．
①令y=3，由y=$\frac{3}{x}$得x=1，则1-$\frac{9}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
∴点D的坐标（-$\frac{7}{2}$，0）；
②令y=-3，由y=$\frac{3}{x}$得x=-1，则-1+$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴点D的坐标（$\frac{7}{2}$，0）；
③如图，线段AB的中点E的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$），过点C作CF⊥x轴于点G，点E作EG⊥OF于x轴点G，
则EG=$\frac{1}{2}$，
∵EG是△CDF的中位线
∴CF=2EG=1，即F点的纵坐标为1，
∴C（3，1），
∴F（3，0）．
∴DG=GF，即3+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$-x，解得x=-$\frac{9}{2}$．
点D的坐标（-$\frac{9}{2}$，0）．
综上所述，D点坐标为（-$\frac{7}{2}$，0），（$\frac{7}{2}$，0）或（-$\frac{9}{2}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．