Question

如图，抛物线y=-x²+a过点A（2，0）．
（1）求a的值；
（2）设抛物线与y轴的交点为B，点P为抛物线上一动点，且在第一象限，求四边形BOAP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若k的取值满足直线y=kx（k≠0）始终与抛物线交于不重合的M、N两点，点Q（0，m）在y轴的正半轴上．直线QM与QN是否能关于y轴对称？若能求出满足条件的m的值；若不能请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A（2，0）代入抛物线y=-x²+a，即可得到a的值；
（2）根据抛物线的解析式可得B点坐标，再根据待定系数法可得直线AB的解析式，要使四边形BOAP面积最大，点P在与AB平行且与抛物线只要一个交点的直线上，联立抛物线y=-x²+a与直线的解析式，根据判别式即可求解；
（3）根据抛物线的性质，轴对称的定义即可作出判断．

解答：解：（1）将点A（2，0）代入抛物线y=-x²+a，可得
-4+a=0，
解得a=4，
则抛物线为y=-x²+4；

（2）当x=0时，抛物线y=-0+4=4，则B（0，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，依题意有

2k+b=0 b=4

，
解得k=-2，b=4，
则直线AB的解析式为y=-2x+4，
设与直线AB平行的直线解析式为y=-2x+m，
令-x²+4=-2x+m，即x²-2x+（m-4）=0；
△=4-4（m-4）=0，
解得m=5，
联立抛物线y=-x²+4与直线y=-2x+5，则

y=-x2+4 y=-2x+5

，
解得

x=1 y=3

．
故点P的坐标为（1，3）；

（3）直线QM与QN不能关于y轴对称．
∵抛物线y=-x²+4的对称轴是y=0，点Q（0，m）在y轴的正半轴上，直线QM与QN关于y轴对称，
∴M、N两点在与x轴重合或平行的直线上，
∵直线y=kx（k≠0）始终与抛物线交于不重合的M、N两点，
∴互相矛盾，
故没有满足条件的m的值．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，根与判别式的关系，互相平行的两条直线的关系，抛物线的性质，解二元二次方程组，综合性较强，有一定的难度．