Question

如图（a）所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-9，0），直线L的解析式为：y=-2x，在直线L上有一点B使得△ABO的面积为27．
（1）求点B的坐标；
（2）如图（b），在当点B在第二象限时，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，求梯形OABC的面积；
（3）在（2）的条件下是否存在直线m经过坐标原点O，且将直角梯形OABC的面积分为1：5的两部分？若存在请直接写出直线m的解析式；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据三角形的面积，可得B点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；
（2）根据梯形的面积公式，可得答案；
（3）根据面积的比，可得S_△ODC，S_△OAE，可得DC的长，根据待定系数法，可得m₁的解析式；根据S_△OAE，可得E点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值，即E点坐标，再根据待定系数法，可得m₂的函数解析式．

解答：解：（1）如图1，作BD⊥OA于D点，
，
由S_OAB=

1

2

|OA|•BD=27，OA=-9，
得BD=6．
再由B在直线L上，得6=-2x．
解得x=-3，
即B点坐标（-3，6）；
（2）如图2：
，
由AO=-9，BC=-3，OC=6，得
S_梯形OABC=

(|AO|+|BC|)OC

2

=

(|-9|+|-3|)×6

2

=36；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，图象过点A、B，得

-9k+b=0 -3k+b=6

．解得

k=1 b=9

．
直线AB的解析式为y=x+9，
如图3：
，
①由S_△ODC：S_梯形OABD=1：5，S_梯形OABC=36，得S_△ODC=6．
由S_△ODC=

1

2

OC•CD=6，OC=6，得CD=2，
即D（-2，6），设OD的解析式为y=k₁x，
解得k₁=-3，
即直线m₁的解析式为y=-3x；
②由S_△AOE：S_梯形OABD=1：5，S_梯形OABC=36，得S_△OAE=6．
由S_△OAE=

1

2

|AO|•EF=6，AO=-9，
得EF=

4

3

．
当y=

4

3

时，x+9=

4

3

，解得x=-

23

3

．
即E（-

23

3

，

4

3

）．
设直线OE的解析式为y=k₂x，
把E点坐标代入函数解析式，得
k₂=-

4

23

，
即直线m₂的解析式为y=-

4

23

x．

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了三角形的面积公式，函数值与自变量的相应关系，梯形的面积公式，待定系数法求函数解析式．