Question

7．如图，直线y=mx+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．
（1）试确定反比例函数和一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出关于x的不等式$\frac{k}{x}$-mx-b＞0的解集；
（3）求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$（x＜0）求出k即可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当x＜-4或-2＜x＜0，一次函数图象都在反比例函数图象下方；
（3）令y=0，x+6=0，得到C点的坐标为（-6，0），再利用三角形面积公式计算△AOC的面积；

解答 解：（1）把A（-2，4）代入y=$\frac{k}{x}$（x＜0）得k=-2×4=-8，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
把x=-4代入y=-$\frac{8}{x}$得y=2，
∴B点坐标为（-4，2），
把A（-2，4）、B（-4，2）代入y=mx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+b=4}\\{-4m+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x+6；
（2）由图象可知，关于x的不等式$\frac{k}{x}$-mx-b＞0的解集为x＜-4或-2＜x＜0；
（3）∵直线AB的解析式为y=x+6，
令y=0，x+6=0，解得x=-6，
∴C点的坐标为（-6，0）
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式．