Question

2．（1）问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D．
∵∠BAD+∠CAD=90°、∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C．
（2）特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
（3）归纳证明：如图③，点BC在∠MAN的边AM、AN上，点EF在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（4）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为60，则△ACF与△BDE的面积之和是20．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）由角的互余关系即可得出结论；
（2）证出∠ABD=∠CAD，由AAS证明△ABD≌△CAF即可．
（3）证出∠EBA=∠FAC，∠AEB=∠CFA，由AAS证明△ABE≌△CAF即可．
（4）同（3）得：△ABE≌△CAF，得出△ABE的面积=△ACF的面积，由已知得出△ABD的面积=$\frac{1}{3}$△ABC的面积=20，即可得出结果．．

解答 （1）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠BAD+∠CAD=90°、∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C．
故答案为：∠C；
（2）证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，
∴∠BDA=∠AFC=∠MAN=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
在△ABD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AFC}&{\;}\\{∠ABD=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）．
（3）证明∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠EBA+∠BAE，∠BAC=∠FAC+∠BAE，
∴∠EBA=∠FAC，∠AEB=∠CFA，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠FAC}&{\;}\\{∠AEB=∠CFA}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
（4）解：同（3）得：△ABE≌△CAF，
∴△ABE的面积=△ACF的面积，
∵CD=2BD，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{3}$△ABC的面积=$\frac{1}{3}$×60=20，
∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=20；
故答案为：20．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、互余两角的关系以及三角形的面积关系等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．