Question

已知，如图，线段AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、C．
（1）当AB=6，DC=2，BC=8时，点P在线段BC运动，不与点B、C重合．
①若△ABP与△PCD可能全等，请直接写出

BP

PC

的值；
②若△ABP与△PCD相似，求线段BP的长．
（2）探究：设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

Answer 1

分析：（1）①题根据全等三角形的性质即可得出答案，②根据△ABP∽△PCD，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求出线段BP的长．
（2）题在一般情形下探究三条线段满足何种关系，才存在结论AP⊥PD，其探究的方法有多种，这里仅探讨顺着解第（1）题的思路，贯彻“特殊到一般”的思想，继续用相似三角形的知识拾阶而上来研究．首先，求出BC，再设存在这样的点P，且BP=x，则PC=-x，由AP⊥PD得，△ABP∽△PCD，则化简得．

解答：解：（1）∵△ABP≌△PCD，
∴AB=PC=6，
BP=CD=2，
∴

BP

PC

=

2

6

=

1

3

，
②当△ABP∽△PCD，
∴

BP

CD

=

AB

PC

，
∴

BP

2

=

6

8-BP

，
解得BP=2，
当△ABP∽△DCP，
∴

BP

CP

=

AB

DC

，
∴

BP

8-BP

=

6

3

，
解得BP=6；
∴BP=2或BP=6；

（2）过D作DE⊥AB与E，得CD=BE=b，AE=a-b，
BC=DE=

AD2-AE2

=

c2-(a-b)2

，
设BP=x，
由（1）得△ABP∽△PCD，

a

c2-(a-b)2 -x

=

x

b

，
x²-

c2-(a-b)2

x+ab=0，
若存在点P，则此方程有实数根，
∴△=c²-（a-b）²-4ab=c²-（a+b）²≥0，
∴c≥a+b
∴c≥a+b时，在直线BC上存在点P，AP⊥PD．

点评：本题可以假设存在，根据相似三角形的性质，利用比例式，找出P点．这是此题的突破点．