题目内容
（2012•中山区一模）如图，AB为⊙O的直径，∠ABT=45°，AB=AT=4．（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）若P为OA的中点，过点P作MN⊥AB，交⊙O与点M，C，交BN于点N，求MN的长．
分析：（1）若要证明AT是⊙O的切线，只要证明∠A=90°即可；
（2）连接OM，利用三角形相似的性质和勾股定理可分别求出NP和MP的值，即可求出MN的值．
（2）连接OM，利用三角形相似的性质和勾股定理可分别求出NP和MP的值，即可求出MN的值．
解答：（1）证明：
∵AB=AT=4，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠A=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AT是⊙O的切线；
（2）连接OM，
∵P为OA的中点，
∴OP=AP，
∵AB=AT=4．
∴OA=OB=OM=2，
∴OP=AP=1，
∵MN⊥AB，
∴∠OPM=90°，
∴△OPM是直角三角形，
∴PM=
=
，
∵AB⊥AT，MN⊥AB，
∴NP∥AT，
∴△BNP∽△BTA，
∴
=
，
=
，
∴NP=3，
∴MN=MP+PN=3+
．
∵AB=AT=4，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠A=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AT是⊙O的切线；
（2）连接OM，
∵P为OA的中点，
∴OP=AP，
∵AB=AT=4．
∴OA=OB=OM=2，
∴OP=AP=1，
∵MN⊥AB，
∴∠OPM=90°，
∴△OPM是直角三角形，
∴PM=
| OM2-OP2 |
| 3 |
∵AB⊥AT，MN⊥AB，
∴NP∥AT，
∴△BNP∽△BTA，
∴
| BP |
| BA |
| NP |
| AB |
| 3 |
| 4 |
| NP |
| 4 |
∴NP=3，
∴MN=MP+PN=3+
| 3 |
点评：本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等，一般情况下要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
相关题目