Question

5．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，O为BC中点．直线l从与边BC重合开始绕点O顺时针旋转，在旋转过程中，直线l与AB边交于点P，与AC的延长线交于点Q．△APQ面积的变化情况是变大（填“变大”、“变小”、“先变大再变小”或“先变小再变大”），请说明理由．
（2）如图2，O为△ABC的内心，直线l经过点O，与AB、AC 分别交于点P、Q，AP=AQ．图中阴影部分为直线l截△ABC所形成．将直线l绕点O顺时针旋转180°，请画图并说明：随着直线l位置的变化，阴影部分面积是如何变化的？
（注：图3给出了直线l截△ABC所形成的阴影部分的某些情形）

Answer 1

分析 （1）作CM∥PB，交直线l于点M，由平行线的性质得∠PBO=∠MCO，由全等三角形的判定得△POB≌△MOC，易得△COQ的面积大于△BOP的面积，得出结论；
（2）充分利用（1）中的结论，数形结合找到临界点，PQ⊥AD，P₁Q₁⊥BE，P₂Q₂⊥CF，按照（1）的方法，构建全等三角形，找到公共部分，比较不同部分的大小变化，可得出结论．

解答 解：（1）变大，理由如下：
如图1，作CM∥PB，交直线l于点M，
∵CM∥PB，
∴∠PBO=∠MCO，
∵O是BC中点，
∴BO=CO，
又∵∠POB=∠MOC，
在△POB与△MOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBO=∠MOC}\\{BO=CO}\\{∠POB=∠MOC}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△MOC，
易得，△COQ的面积大于△BOP的面积，
则在直线l从与BC重合开始，绕BC中点O顺时针旋转的过程中，
△APQ面积的变化情况是变大．
故答案为：变大；

（2）如图2，连接AO、BO、CO并延长，分别交BC、AC、AB于点D、E、F．
作PQ⊥AD，P₁Q₁⊥BE，P₂Q₂⊥CF，垂足均为O．
易得，所作点P、Q即为原题中P、Q．
当直线l从直线PQ的位置绕点O顺时针旋转至直线P₁Q₁的位置的过程中，
阴影部分面积逐渐变大；
当直线l从直线P₁ Q₁ 的位置绕点O顺时针旋转至直线P₂Q₂的位置的过程中，
阴影部分面积逐渐变小；
当直线l从直线P₂Q₂的位置绕点O顺时针旋转至直线PQ的位置的过程中，
阴影部分面积逐渐变大．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，数形结合，构建全等三角形是解答此题的关键．