Question

4．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，∠ACB的平分线交BD于点E．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：BC+CE=AB．

Answer 1

分析 （1）由平行线和角平分线的性质得到角相等，根据等腰三角形的判定得到结论；
（2）作DM∥CB，则四边形BCDM为菱形，由菱形的性质得到垂直，根据直角三角形两锐角互余，得到∠1+∠3+∠5=90°，由等腰直角三角形得到∠A=45°，根据角平分线的性质得到∠3=45°，于是得到∠A=∠3，再由三角形全等得到AM=CE，于是得到AB=BM+AM=BC+CE．

解答 证明：（1）如图1，∵CD∥AB，
∠D=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠D=∠1，
∴BC=CD；

（2）如图2，作DM∥CB，连接CM，
则四边形BCDM为菱形，
∴CM⊥BD，
∴∠1+∠3+∠5=90°，
∵∠4+∠5=∠3=45°，
∴∠1+∠5=45°，
∴∠1=∠4，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠A=∠3，
在△BCE与△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠A}\\{AC=BC}\\{∠1=∠4}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAM，
∴AM=CE，
∴AB=BM+AM=BC+CE．

点评 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．