Question

如图，△ABC中，∠A=90°，△ABC的角平分线BD、CE交于点F．若CF=

7

2

，四边形BCDE的面积为14，则BC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：在BC上取点M使得BM=BE，取点N使得CN=CD，作BG⊥CE延长线于点G，易证△BFE≌△BFM和△CFN≌△CFD，即可求得S_△BFC=

1

2

S_{四边形BCDE}，即可求得BG、FG的长，根据勾股定理即可求得BC的长，即可解题．

解答：解：在BC上取点M使得BM=BE，取点N使得CN=CD，作BG⊥CE延长线于点G，

在△BFE和△BFM中，

BF=BF ∠FBE=∠FBM BM=BE

，
∴△BFE≌△BFM（SAS），
∴EF=EM，S_△BFE=S_△BFM，∠BFE=∠BFM，
同理：△CFN≌△CFD，
∴DF=FN，S_△CFN=S_△CFD，∠CFD=∠CFN，
∵∠FBC+∠FCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=45°，
∴∠CFD=∠BFE=45°，∠BFC=∠EFD=135°，
∴∠EFM=∠BFE+∠BFM=90°，∠DFN=∠DFC+∠NFC=90°，
∴∠MFN+∠EFD=180°，
∴S_△EFD=

1

2

EF•DFsin∠EFD=

1

2

FM•FNsin∠MFN=S_△MFN，
∴S_△BFC=S_△BEF+S_△CDF+S_△DEF，
∴S_△BFC=

1

2

S_{四边形BCDE}，
∴

1

2

CF•BG=7，求得BG=4，
∵∠BFE=45°，
∴BG=FG=4，
∴BC=

GB2+CG2

=

17

2

．
故答案为：

17

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△BFM和△CFN≌△CFD是解题的关键．