Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C的距离相等．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先根据角平分线的性质可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD上任意一点到点B，点C的距离相等．

解答 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故①③正确；
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△AFD中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AFD，
∴AE=AF；故②正确；
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BD，
∴AD上任意一点到点B，点C的距离相等，故④正确；
故选D．

点评 此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质求得DE=DF，是关键的一步．