Question

7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为$\widehat{AD}$中点，连接BM，CM
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据正方形的性质得出∠BOC的度数，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∵M为$\widehat{AD}$中点，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{DM}$，
∴$\widehat{AB}$+$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$+$\widehat{DM}$，即$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴BM=CM；

（2）解：连接MO，BO，CO，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BOC=90°，
∵$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴∠BOM=∠COM=135°．

点评 本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．