Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：
①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a+c＜1；④b²+8a＞4ac，
其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①将x=-2代入y=ax²+bx+c，可以结合图象得出x=-2时，y＜0；
②由抛物线开口向下，可得a＜0；由图象知抛物线的对称轴大于-1，则有x=$-\frac{b}{2a}$＞-1，即可得出2a-b＜0；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图象知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），联立（1）（2），可得a+c＜1；
④由抛物线的对称轴大于-1，可知抛物线的顶点纵坐标应该大于2，结合顶点的纵坐标与a＜0，可以得到b²+8a＞4ac．

解答 解：①由函数的图象可得：当x=-2时，y＜0，即y=4a-2b+c＜0，故①正确；
②由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴大于-1，即x=$-\frac{b}{2a}$＞-1，得出2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图象知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
联立（1）（2），得：a+c＜1，故③正确；
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：$\frac{{4ac-b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正确，
故选D．

点评 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，此外还要注意二次函数图象上的一些特殊点．