Question

11．阅读下列材料：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），我们知道当△=b²-4ac≥0时，这个方程的两个
实数根可以表示为：x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，此时方程的两根之和为：x₁+x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-2b}{2a}$=-$\frac{b}{a}$．两根之积为：x₁•x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（-b）^{2}-（\sqrt{{b}^{2}-4ac}）^{2}}{（2a）^{2}}$=$\frac{{b}^{2}-（{b}^{2}-4ac）}{4{a}^{2}}$=$\frac{4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$．这就是一元二次方程的根与系数关系定理：
如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，那么x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．
例如，已知x₁，x₂ 分别为一元二次方程2x²-x-3=0的两根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{-3}{2}$=-$\frac{3}{2}$．
回答下列问题：
已知x₁，x₂ 分别是一元二次方程-$\sqrt{2}$x²=x-4的两根，则
x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$； x₁•x₂=-2$\sqrt{2}$； x₁²+x₂²=$\frac{1}{2}$+4$\sqrt{2}$； $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 将方程整理成一般式，根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$、x₁•x₂=-2$\sqrt{2}$，再将x₁²+x₂²变形为$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂、$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，代入数据即可得出结论．

解答 解：方程可整理成-$\sqrt{2}$x²-x+4=0．
∵x₁，x₂ 分别是一元二次方程-$\sqrt{2}$x²=x-4的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-1}{-\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₁•x₂=$\frac{4}{-\sqrt{2}}$=-2$\sqrt{2}$，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$-2×（-2$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$+4$\sqrt{2}$；
 $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；-2$\sqrt{2}$；$\frac{1}{2}$+4$\sqrt{2}$；$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$、x₁•x₂=-2$\sqrt{2}$是解题的关键．