Question

在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）计算

CE

AE

．

Answer 1

考点：切线的判定,平行线的判定,等边三角形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）连接OD，根据等边三角形性质得出∠B=∠A=60°，求出等边三角形BDO，求出∠BDO，∠A，推出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD=

1

2

AC，求出AE=

1

4

AC，CE=

3

4

AC，即可求出答案．

解答：（1）证明：连接OD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°=∠ACB，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠AED=90°，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AD=BD=

1

2

AB，
在Rt△AED中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD=

1

4

AC，CE=AC-AE=

3

4

AC，
∴

CE

AE

=3．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的判定，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．