Question

13．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．BE与FC相交于点H．
（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：BE=FC；
（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点．求证：MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}FC$；
（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：BF²+CE²=AC²．

Answer 1

分析 （1）首先判断出BD=AD=CD，然后根据旋转的性质，判断出ED=FD，∠BDE=∠CDF；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BED≌△CFD，即可判断出BE=FC．
（2）首先连接BF，取BF中点G，连接MG、NG，判断出BE⊥CF；然后根据M为EF中点，G为BF中点，N为BC中点，判断出MG∥BE，MG=$\frac{1}{2}BE$，NG∥FC，NG=$\frac{1}{2}FC$；最后根据BE=FC，BE⊥FC，判断出MG=NG，∠MGN=90°，即△MGN为等腰直角三角形，即可判断出MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}FC$．
（3）首先根据BE⊥FC，可得BF²+CE²=EF²+BC²=BH²+CH²+EH²+FH²；然后根据EF=AB，可得BF²+CE²=AB²+BC²=AC²，据此判断即可．

解答 （1）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，
∴BD=AD=CD，
又∵ED=AD，FD=BD，
∴ED=FD，
∵∠BDE=∠FDE+∠α=90°+∠α，
∠CDF=∠CDB+∠α=90°+∠α，
∴∠BDE=∠CDF，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=FD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD，
∴BE=FC．

（2）证明：如图2，连接BF，取BF中点G，连接MG、NG，
，
∵△BED≌△CFD，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠FHE=∠FDE=90°，
∴BE⊥CF，
∵M为EF中点，G为BF中点，
∴MG∥BE，MG=$\frac{1}{2}BE$，
∵G为BF中点，N为BC中点，
∴NG∥FC，NG=$\frac{1}{2}FC$，
又∵BE=FC，BE⊥FC，
∴MG=NG，∠MGN=90°，
∴△MGN为等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}NG=\sqrt{2}×\frac{1}{2}FC=\frac{\sqrt{2}}{2}FC$．

（3）解：由（2），可得BE⊥FC，
∴BF²=BH²+FH²，
CE²=CH²+EH²，
EF²=EH²+FH²，
BC²=BH²+CH²，
∴BF²+CE²=EF²+BC²=BH²+CH²+EH²+FH²，
∵EF=AB，
∴BF²+CE²=AB²+BC²=AC²，
∴BF²+CE²=AC²．
故答案为：BE=FC、BF²+CE²=AC²．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（4）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．