题目内容
20．阅读题：一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x1和x2，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的3倍．数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y，则y=3x，得x=$\frac{y}{3}$代入原方程得$a{（{\frac{y}{3}}）^2}+b（{\frac{y}{3}}）+c=0$变形得ay2+3by+9c=0此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法．解答：（1）已知方程x2+x-2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为y2-y-2=0．
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数．
分析 （1）设所求方程的根为y，则y=-x，则x=-y．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；
（2）设所求方程的根为y，则y=$\frac{1}{x}$，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可．
解答 解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，则x=-y．
把x=-y代入已知方程x2+x-2=0，
得 （-y）2+（-y）-2=0．
化简得：y2-y-2=0．
故答案是：y2-y-2=0．
（2）设所求方程的根为y，则y=$\frac{1}{x}$，所以x=$\frac{1}{y}$，
把x=$\frac{1}{y}$代入已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）得
a（$\frac{1}{y}$）2+b•$\frac{1}{y}$+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0．
若c=0，则ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意．
∴c≠0，
故所求的方程为：cy2+by+a=0（c≠0）．
点评 本题考查了一元二次方程的解．解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
练习册系列答案
相关题目
如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠AEC+∠DEB的度数是30°．
如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B的坐标是（-1，0），则下面四个结论：①2a+b=0，②4a-2b+c＜0，③ac＜0，④当y＜0时，x＜-1或x＞3，其中正确的个数是（ ）
完成下面推理过程：