Question

如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax²+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°-45°）+45°=90°，
∴AO⊥CO，
∵C′O′是CO平移得到，
∴AO⊥C′O′，
∴△OO′G是等腰直角三角形，
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，
∴OO′=2x，
∴其以OO′为底边的高为x，
∴y=

1

2

×（2x）•x=x²；

（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，
∵

1

2

×6=3，
∴点G的坐标为（3，3），
设抛物线解析式为y=ax²+bx，
则

9a+3b=3 64a+8b=0

，
解得

a=- 1 5 b= 8 5

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

5

x²+

8

5

x；

（3）设点P到x轴的距离为h，
则S_△POB=

1

2

×8h=8，
解得h=2，
当点P在x轴上方时，-

1

5

x²+

8

5

x=2，
整理得，x²-8x+10=0，
解得x₁=4-

6

，x₂=4+

6

，
此时，点P的坐标为（4-

6

，2）或（4+

6

，2）；
当点P在x轴下方时，-

1

5

x²+

8

5

x=-2，
整理得，x²-8x-10=0，
解得x₁=4-

26

，x₂=4+

26

，
此时，点P的坐标为（4-

26

，-2）或（4+

26

，-2），
综上所述，点P的坐标为（4-

6

，2）或（4+

6

，2）或（4-

26

，-2）或（4+

26

，-2）时，△POB的面积S=8．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．