Question

如图，⊙O直径CD⊥AB于E，AF⊥BD于F，交CD的延长线于H，连AC．
（1）求证：AC=AH；
（2）若AB=4

2

，OH=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据垂直的定义，以及圆周角定理即可证明∠C=∠H，然后根据等角对等边即可证得；
（2）连接AO，在直角△AOE中，根据勾股定理即可得到关于ED与OE的方程，即可求解．

解答：解：（1）∵AF⊥BD，CD⊥AB，
∴∠H=∠B，
又∵∠C=∠B，
∴∠C=∠H，
∴AC=AH；
（2）连接AO，∵AC=AH，CD⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=2

2

，CE=EH，
设ED=x，OE=y，
∴OA=OC=OD=x+y，
∴EH=CE=x+2y，
∴OH=x+3y，
∴x+3y=5，
又∵OA²=AE²+OE²，
∴(x+y)2=y2+(2

2

)2，
∴x=2，y=1，
∴⊙O的半径x+y=3．

点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．