Question

12．在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠BCD=120°，∠BAD=60°，动点P在直线AC上，若以A、B、C、D、P中的4个点为顶点能构成面积为2$\sqrt{3}$的菱形，则线段AP的长为2或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分两种情形讨论即可①当四边形BCDP是菱形时，②当四边形ABP′D是菱形时，分别列出方程求解即可．

解答 解：如图①当四边形BCDP是菱形时，

设OC=OP=a则OB=OD=$\sqrt{3}$a，
由题意$\frac{1}{2}$•2a•2$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{3}$，
∴a=1，
易知PA=PB=2a=2．
②当四边形ABP′D是菱形时，设OB=OD=b则OA=OP′=$\sqrt{3}$b，
由题意$\frac{1}{2}$•2b•2$\sqrt{3}$b=2$\sqrt{3}$，
∴b=1，
易知P′A=2OA=2$\sqrt{3}$．
故答案为2或2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．