Question

10．如图，在正方形ABCD中，有一个△AMN，MA=NA，M、N分别在DC、BC上，连接BD、AC，若∠DAM=15°，则下列说法中：?
①MC=NC；
②?△AMN为等边三角形；
③?AC⊥MN；
④NP=$\frac{1}{2}$AM；
⑤若S_△AMN=$\sqrt{3}$，则S_△ABN=$\frac{1}{2}$，
正确的有5个．

Answer 1

分析 如图，在AB上截取一点G，使得AG=NG..先证明△ADM≌△ABN，推出∠DAM=∠BAN=15°，推出∠MAN=60°，由此可以判断①②③④正确，设BN=a，则GN=AG=2a，BG=$\sqrt{3}$a，由AB²+BN²=AN²，列出方程求出a，即可求出△ABN的面积，作出判断．

解答 解：如图，在AB上截取一点G，使得AG=NG．．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ADB=∠ABC=90°，
在Rt△ADN和Rt△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABN，
∴∠BAN=∠DAM=15°，DM=BN，
∴CM=CN，∠MAN=90°-∠DAM-∠BAN=60°，故①正确，
∵AM=AN，
∴△AMN是等边三角形，故②正确，
∵∠MAC=∠NAC=30°，AM=AN，
∴AC⊥MN，PN=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{1}{2}$AM，故③④正确，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$•AN²=$\sqrt{3}$，
∴AN²=4，
∵GA=GN，
∴∠GAN=∠GNA=15°，
∴∠BGN=∠GAN+∠GNA=30°，设BN=a，则GN=AG=2a，BG=$\sqrt{3}$a，
∵AB²+BN²=AN²，
∴（2a+$\sqrt{3}$a）²+a²=4，
解得a²=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$•a•（2a+$\sqrt{3}$a）=$\frac{1}{2}$$•（2+\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．故⑤正确．
综上所述，①②③④⑤都是正确的，
故答案为5．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造30度角，属于中考压轴题．