Question

3、一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？

Answer 1

分析：设满足题设性质的自然数是x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数，设质数p₁＜p₂＜p₃＜p₄，则依题意由kp₁p₂p₃p₄，+1，再假设p₁=2，根据数的奇偶性可判断出2不符合题意，再假设p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11可求出k的值，再由p₄的值进行讨论，找出符合条件的值即可．

解答：解：设满足题设性质的自然数是x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数，设质数p₁＜p₂＜p₃＜p₄，则依题意由kp₁p₂p₃p₄，+1①，其中k为自然数，
若p₁=2，则kp₁p₂p₃p₄，+1是奇数，与x是偶数不符，所以p₁、p₂、p₃、p₄均为奇质数，
设p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11，则3×5×7×11=1155，所以k=1；
而p₁=3，p₂=5，p₃=11，p₄=13时，3×5×11×13=2145＞1999，
所以p₁=3，p₂=5，p₃=7是p₁，p₂，p₃的唯一取值法，这样一来我们只需对p₁=3讨论，
p₄=11时，x₁=3×5×7×11+1=1156，
p₄=13时，x₁=3×5×7×13+1=1366，
p₄=17时，x₁=3×5×7×17+1=1786，
p₄=19时，x₁=3×5×7×19+1=1996，
而当p₄=23时，x₁=3×5×7×23+1＞2000，不符合要求
所以满足条件的自然数共有四个，它们是1156，1366，1786，1996．
故其中最大的一个是1996．

点评：本题考查的是带余数的除法，解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．