Question

14．我们知道对于任意实数a、b，都有a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时取等号）．我们可以利用这一结论来解决很多实际问题．
（1）若x＞0，则函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的最小值是2．
（2）现有一架敌方无人机沿双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）前来侦察，我方位于坐标原点O（0，0）的雷达站捕捉信号，当无人机与雷达站距离最近时，信号最强，求此时无人机信号所在点的坐标．
（3）现有两个电阻R₁、R₂，串联后总电阻R_串=R₁+R₂，并联后总电阻$\frac{1}{{R}_{并}}$=$\frac{1}{{R}_{1}}$+$\frac{1}{{R}_{2}}$，若R_串=k•R_并，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2•x•$\frac{1}{x}$=2，即可求得答案；
（2）首先设无人机信号所在点的坐标为（x，$\frac{2}{x}$），则可得无人机与雷达站距离为：y=$\sqrt{{x}^{2}+（{\frac{2}{x}）}^{2}}$，然后根据题意求得答案；
（3）由并联后总电阻$\frac{1}{{R}_{并}}$=$\frac{1}{{R}_{1}}$+$\frac{1}{{R}_{2}}$，若R_串=k•R_并，可得k=$\frac{{R}_{串}}{{R}_{并}}$=$\frac{（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}}{{R}_{1}{R}_{2}}$，继而可得k=$\frac{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}{R}_{2}}$+2≥$\frac{2{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{2}{R}_{2}}$+2，继而求得答案．

解答 解：（1）∵y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2•x•$\frac{1}{x}$=2，
∴函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的最小值是2．
故答案为：2．

（2）设无人机信号所在点的坐标为（x，$\frac{2}{x}$），
则无人机与雷达站距离为：y=$\sqrt{{x}^{2}+（{\frac{2}{x}）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}}$≥$\sqrt{2•x•\frac{2}{x}}$=2，
当且仅当x=$\frac{2}{x}$时，即x=$\sqrt{2}$时，y有最小值为2．
∴无人机信号所在点的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

（3）∵$\frac{1}{{R}_{并}}$=$\frac{1}{{R}_{1}}$+$\frac{1}{{R}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{1}{R}_{2}}$，
∴R_并=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
∴k=$\frac{{R}_{串}}{{R}_{并}}$=$\frac{（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}}{{R}_{1}{R}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}+2{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}{R}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}{R}_{2}}$+2≥$\frac{2{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{2}{R}_{2}}$+2=4，
∴k的取值范围为k≥4．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用．理解对于任意实数a、b，都有a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时取等号）是关键．