Question

一长方体容器（如图1），长、宽均为2，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2、图3、图4所示
【探究】：倾斜后（如图3），
（1）四边形ABCD的面积是

 

（提示：倾斜前后容器中的水的体积不变）
（2）请直接写出AD和BC有何数量关系：

 

【拓展】：
（1）如图2，若长方体容器高为8，倾斜容器使得水若水恰好倒出容器，直接写出cos α=

 

（2）如图3，若A距地面高度为1，试求水面的高度（即C距地面的高度）为多少？

【操作】：若E为CD中点
（1）图2和图3中BE有何数量关系，请直接写出：

 

（2）找到图1中的E，并继续观察图1、图2、图3中的BE，你能出怎样的一般性结论：

 

【延伸】：
（1）从长方体容器开始倾斜到水面刚好流出容器的倾斜过程中，点E的轨迹是什么？并在图2中画出点E的轨迹；
（2）若倾斜后水面最高，此时水面高度是多少？

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）根据倾斜前后容器中的水的体积不变，可得出倾斜后面积不变，即可求得四边形ABCD的面积；
（2）根据梯形ABCD面积的计算，即可求得AD+BC的值，即可解题；
（3）作EF⊥BC，令E是CD中点，则EF=1，可求得CF的值，根据勾股定理即可求得CE的长，即可解题；
（4）作AG⊥GB，EH⊥BH，如图，M是AB中点，E是CD中点，作MN∥FH，可求得MG的值，再根据ME和cosα即可求得EN的值，即可解题；
（5）作EF⊥AB，即可求得BF、EF的长，根据勾股定理即可求得BE的长，即可解题；
（6）观察图1，图2，图3发现BE=

BF2+EF2

，且BF，EF长度不变，即可得出BE长度不变；
（7）在B点左侧找到F点，使得BF=1，作GF=5，根据BE运动过程中长度不变，可得出E点走过轨迹为圆弧，画出图形即可解题；
（8）根据点E走过的轨迹为圆弧，且BE在运动过程中保持不变，可得出倾斜后水面最高为BE，即可解题．

解答：解：（1）∵倾斜前后容器中的水的体积不变，
∴倾斜后面积不变，
∴四边形ABCD的面积=10，
（2）∵四边形ABCD面积=

1

2

AB（AD+BC）=10，
∴AD+BC=10；
（3）作EF⊥BC，令E是CD中点，则EF=1，

∵BC=8，BF=5，
∴CF=1，
∴CE=

EF2+CF2

=

10

，
∵CD与地面平行，
∴cosα=cos∠ECF=

CF

CE

=

3 10

10

；
（4）作AG⊥GB，EH⊥BH，如图，M是AB中点，E是CD中点，作MN∥FH，

∵AF=1，AB=2，
∴∠ABF=30°，MG=

1

2

AF=

1

2

，
∵∠EMN+∠NMB=90°，∠NMB=∠FBA，
∴∠EMA=∠BAF=60°，
∴EN=EM•cos30°=

3

2

EM=

5 3

2

，
∴EH=EN+MG=

5 3

2

+

1

2

=

5 3 +1

2

；
（5）作EF⊥AB，

∵E为CD中点，∴EF是梯形ABCD中位线，即EF=

1

2

（AD+BC）=5，
∵BE=

BF2+EF2

，且BF长度为1，
∴BE=

26

．
（6）观察图1，图2，图3发现BE=

BF2+EF2

，且BF，EF长度不变，
∴BE长度不变；
（7）在B点左侧找到F点，使得BF=1，作GF=5，BE运动过程中长度不变，则圆弧GE即为E点的轨迹，

（8）点E走过的轨迹为圆弧，且BE在运动过程中保持不变，
∴倾斜后水面最高为EB⊥BF时，
此时水面高度是

26

．

点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了三角函数的运用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求得BE的长是解题的关键．