Question

（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°． 试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=

 

．（直接给出答案）
（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=

 

．（直接给出答案）
（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）AB与CD平行，理由为：过点F作FH∥AB，如图所示，利用两直线平行同旁内角互补得到∠AEF与∠EFH互补，由∠AEF的度数求出∠EFH的度数，再由EF与FG垂直，得到∠EFG为直角，由∠EFG-∠EFH求出∠HFG的度数，与∠DGF的度数相等，利用内错角相等两直线平行得到FH与CD平行，利用平行于同一条直线的两直线平行即可得证；
（2）延长ED交BC于点F，利用平行线的性质求得∠BFE，则∠CFE即可求得，然后在△CDF中，利用三角形的外角的性质即可求解；
（3）延长DC交AB于点F，作△ACF的外角∠4，利用平行线的性质可得∠DFB=∠3，根据三角形的外角和定理即可求解；
（4）延长BE交直线CD于点G，根据平行线的性质证明∠BGF=∠DCF，然后根据平行线的判定定理即可证得．

解答：解（1）：AB∥CD．
理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．
∵∠AEF=150°，
∴∠EFH=30°，
又∵EF⊥GF，
∴∠HFG=90°-30°=60°．
又∵∠DGF=60°，
∴∠HFG=∠DGF，
∴HF∥CD，
则AB∥CD；
（2）延长ED交BC于点F．
∵AB∥DE，
∴∠BFE=∠ABC=70°，则∠CFE=180°-∠BFD=110°，
∴∠C=∠CDE-∠CFE=147°-110°=37°，
故答案是：37°；
（3）延长DC交AB于点F，作△ACF的外角∠4．
∵CD∥BE，
∴∠DFB=∠3，
又∵∠DFB+∠2+∠4=360°，
∴∠2+∠3+∠4=360°，即∠2+∠3=360°-∠4．
∴∠2+∠3-∠1=360°-∠4-∠1=360°-180°=180°，
故答案是：180°；
（4）延长BE交直线CD于点G．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BGD，
又∵∠ABE=∠DCF，
∴∠BGF=∠DCF，
∴BE∥CF．

点评：本题考查了平行线的性质定理和判定定理，以及三角形的外角的性质，正确作出辅助线是关键．