Question

2．如图，直线y=kx-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，且$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$
（1）求点B坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=k-3上在第一象限内的一个点，坐标（2，1），请问x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出OC的长，根据题意求出OB，得到点B坐标，把点B坐标代入一次函数解析式，求出k；
（2）分BP=BA、PA=PB两种情况，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）对于直线y=kx-3，
当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），即OC=3，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=$\frac{3}{2}$，即点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
则$\frac{3}{2}$k-3=0，
解得，k=2；
（2）过点A作AD⊥x轴于D，则OD=2，BD=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，AD=1，
∴Rt△ABD中，AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴以B为圆心，AB长为半径画弧，从左往右依次交x轴于P₁，P₂两点，则OP₁=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OP₂=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故P₁（$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0），P₂（$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0），
作AB的垂直平分线交x轴于P₃，设DP₃=x，则
Rt△ADP₃中，1²+x²=（$\frac{1}{2}$+x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$，
∴P₃（$\frac{11}{4}$，0），
故存在三个点P，使△ABP为等腰三角形．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，正确求出一次函数图象与坐标轴的交点、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．