Question

如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PD交PO的延长线于点E．
（1）求证：DE=DO；
（2）若⊙O的半径为3，AD=8，求tan∠AOP的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据切线长定理，可得∠1=∠2，然后在直角△PDE和直角△APD中，利用三角形内角和定理证得∠3=∠E，即可得到∠4=∠E，根据等角对等边即可证得；
（2）连接OC，则△OCD是直角三角形，根据三角函数的定义可得tan∠ODC=

PA

DA

=

CO

CD

，据此即可求得PA的长，然后利用正切函数的定义即可求解．

解答：解：（1）∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C．
∴∠1=∠2，且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠EDP=90°，
∴∠3=∠E．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠E，
∴OD=DE；
（2）连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCD=90°，
又∵⊙O的半径是3，AD=8，
∴OC=3，OD=5，
∴CD=4．
又∵在直角△PAD和直角△OCD中，tan∠ODC=

PA

DA

=

CO

CD

．
∴

PA

8

=

3

4

，
∴PA=6，
∴tan∠AOP=

PA

AO

=

6

3

=2．

点评：本题考查了切线的性质以及三角函数的定义，根据三角函数的定义，得到

PA

DA

=

CO

CD

，求得CD的长是关键．