Question

19．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=$\frac{1}{2}$CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH
（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；
（2）求△DEG和△CGH的面积比．

Answer 1

分析 （1）首先根据全等三角形的判定定理ASA证得：△DEG≌△BFH，根据对应边相等证得DG=BH，从而得出AG=CH，判断出四边形AGCH是平行四边形，继而得出结论；
（2）根据等高三角形面积的比等于底的比，相似三角形面积的比等于对应边比的平方即可求出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠E=∠F，∠EDG=∠FBH，
在△DEG与△BFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{DE=BF}\\{∠DEG=∠BFH}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFH（ASA），
∴DG=BH，
∴AD-DG=BC-BH，即CH=AG，
又∵AG∥CH，
∴四边形AGCH为平行四边形；

（2）∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=$\frac{1}{3}$CE，$\frac{{S}_{△DGE}}{{S}_{△CGD}}$=$\frac{1}{2}$，
∵DG∥BC，
∴$\frac{{S}_{△DGE}}{{S}_{△HEC}}$=${（\frac{DE}{CE}）}^{2}$=${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△CGH}}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，知道三角形面积的比分为相似三角形面积的比和非相似三角形面积的比是解题的关键．