Question

如图，以?ABCD的边AB为直径的⊙O交对角线BD于P，交边BC于Q，连接AQ交BD于E．
（1）求证：AE²=EP•ED；
（2）若BP=PD，试判断?ABCD是何种特殊平行四边形？请说明理由；并求当AE=4，EQ=2时?ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AP，由平行线的性质及圆周角定理可判断∠1=∠3，再由∠AEP=∠DEA，可得△AEP∽△DEA，根据对应边成比例可得出结论．
（2）判断AP垂直平分BD后，可得AD=AB，继而得出四边形ABCD是菱形，由AD∥BC，可得△ADE∽△QBE，从而有

AD

BQ

=

AE

QE

=

1

2

，设BQ=x，则AB=AD=2x，在Rt△ABQ中，利用勾股定理可求出x，继而得出BC的长度，求出?ABCD的面积．

解答：（1）证明：连接AP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2（圆周角定理），
∴∠1=∠3，
又∵∠AEP=∠DEA（同一个角），
∴△AEP∽△DEA，
∴

AE

DE

=

PE

AE

，
∴AE²=EP•ED．

（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BD，
∵BP=PD，
∴AP垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△QBE，
∴

AD

BQ

=

AE

QE

=

1

2

，
设BQ=x，则AB=AD=2x，
∵∠AQB=90°（圆周角定理），
∴AQ²+BQ²=AB²，即x²+6²=（2x）²，
解得：x=2

3

，
∴BC=AB=4

3

，
∴?ABCD的面积=BC×AQ=4

3

×6=24

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是要求同学们熟练掌握各性质定理的内容，并灵活运用．