Question

11．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[50°，$\sqrt{5}$]得△AB′C′，则S_△AB′C′：S_△ABC=5：1；直线BC与直线B'C′所夹的锐角为50度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ 和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ 和n的值．

Answer 1

分析 （1）如图①，根据题意可知：△ABC∽△AB'C'，由相似三角形面积比等于相似比的平方得出结论；在△ABN和△B′MN中，两个角对应相等，则第三个角相等，即∠BMB'=∠BAB'=50°；
（2）如图②，根据∠BAC=30°，∠ACB=90°可以求旋转角∠CAC′的度数，在Rt△ABB′中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得n的值；
（3）如图③，先根据等腰三角形的两个底角相等，得∠ACB=72°，由平行四边形性质得：AC′∥BB′，所以
θ=∠CAC'=72°，证明△ABC∽△B'BA，列比例式可求AB的长，即B′C′的长，计算n=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

解答 解：（1）如图①，根据题意得：△ABC∽△AB'C'，
∴S_△AB'C'：S_△ABC=（$\frac{AB′}{AB}$）²=（$\frac{\sqrt{5}}{1}$）²=5：1，∠B=∠B'，
∵∠ANB=∠B'NM，
∴∠BMB'=∠BAB'=50°；
故答案为：5：1，50；
（2）如图②，∵四边形 ABB'C'是矩形，
∴∠BAC'=90°，
∴θ=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=90°-30°=60°，
在Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB'=60°，
∴∠AB'B=30°，
∴AB′=2AB，
∴n=$\frac{AB′}{AB}$=2；
（3）如图③，∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵四边形ABB'C'是平行四边形，
∴AC'∥BB'，
∴∠CAC'=∠ACB=72°，
∴θ=∠CAC'=72°，
∴∠BAB'=∠CAC'=72°，
∴∠BB'A=36°，
∴∠BB'A═∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B'BA，
∴AB：BB'=CB：AB，
∴AB²=CB•BB'=CB（BC+CB'），
∵∠ACB=72°，∠AB′B=36°，
∴∠CAB′=36°，
∴∠CAB′=∠AB′B，
∴CA=CB′，
∴CB'=CA=AB=B'C'，
∵BC=1，
∴AB²=1×（1+AB），
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴$AB=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、平行四边形、旋转的几何变换问题，和以往的旋转不同，既旋转一定的角度，边长又扩大一定的倍数，所以要认真理解题意，本题还属于新定义的问题，此类题考查了学生的能力，也有助于学生的能力的培养．