Question

如图所示．直线y=x+2与y轴相交于点A，OB₁=OA，以OB₁为底边作等腰三角形A₁OB₁，顶点A₁在直线y=x+2上，△A₁OB₁记作第一个等腰三角形；然后过B₁作平行于OA₁的直线B₁A₂与直线y=x+2相交于点A₂，再以B₁A₂为腰作等腰三角形A₂B₁B₂，记作第二个等腰三角形；同样过B₂作平行于OA₁的直线B₂A₃与直钱y=x+2相交于点A₃，再以B₂A₃为腰作等腰三角形A₃B₂B₃，记作第三个等腰三角形；依此类推，则等腰三角形A₁₀B₉B₁₀的面积为（　　）

• A、3•4⁸
• B、3•4⁹
• C、3•4¹⁰
• D、3•4¹¹

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题,规律型

分析：令x=0求解得到点A的坐标，然后求出OA的长，过点A₁作A₁C₁⊥x轴于C₁，根据等腰三角形三线合一的性质求出OC₁，再根据直线解析式求出A₁C₁，然后判断出△A₂B₁B₂∽△A₁OB₁，过点A₂作A₂C₂⊥x轴于C₂，根据相似三角形的性质用B₁C₂表示出A₂C₂，再根据A₂在直线上列式求解得到第二个等腰三角形的底边与高，同理求出第三个等腰三角形的底边与高，然后根据规律判断出△A₁₀B₉B₁₀的底边与高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：令x=0，则y=2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴OA=2，
∴OB₁=OA=2，
过点A₁作A₁C₁⊥x轴于C₁，
则OC₁=

1

2

OB₁=

1

2

×2=1，
∵A₁在直线y=x+2上，
∴A₁C₁=x+2=1+2=3，
∴A₁C₁=3OC₁，
由题意得，△A₂B₁B₂∽△A₁OB₁，
过点A₂作A₂C₂⊥x轴于C₂，
则A₂C₂=3B₁C₂，
设B₁C₂=a，则A₂C₂=3a，
∵A₂在直线y=x+2上，
∴A₂C₂=x+2=（2+a）+2=3a，
解得a=2，
∴B₁B₂=2×2=4，
同理可得B₂B₃=8=2³，A₂C₃=12=3×2²，
…，
△A₁₀B₉B₁₀的底边B₉B₁₀=2¹⁰，高为3×2⁹，
∴△A₁₀B₉B₁₀的面积=

1

2

×2¹⁰×3×2⁹，
=3•4⁹．
故选B．

点评：本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，求出等腰三角形底边上的高等于底边一半的3倍是解题的关键，也是本题的难点．