题目内容
13．
已知，如图，把平行四边形OABC放置于平面直角坐标系中，OA落在x轴的正半轴上，OB落在y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、O、C三点．（1）求该抛物线的解析式；
（2）试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TC|的值最大？若存在，求出T点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点P为抛物线在第一象限内上的一个动点，点Q为x轴上任意一点，若以O、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似，请求出点Q的坐标．
分析 （1）根据平行四边形的性质，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）三角形两边之差大于第三边，可得O、C、T在同一条直线上，根据解方程组，可得T点坐标；
（3）分类讨论：①当△OQP∽△OBC时，②当△OQP∽△CBO时，根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
解答 解：（1）由平行四边形OABC，得
CB=OA=2，A（2，0），C（-2，4）．
将O、A、C的坐标代入y=ax2+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{c=0}\\{4a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
该抛物线的解析式y=$\frac{1}{2}$x2-x；
（2）如图1
，
在抛物线的对称轴上存在一点T，使得|TO-TC|的值最大，
设OC的解析式为y=kx，将C点坐标代入，得
-2k=4，
解得k=-2，
直线OC的解析式为y=-2x，
联立直线OC、对称轴，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{x=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
T点的坐标是（1，-2）；
（3）设Q（a，0），P（a，$\frac{1}{2}$a2-a），
如图2
，
①当△OQP∽△OBC时，$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{QP}{BC}$，即$\frac{a}{4}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}-a}{2}$，
化简，得
a2-3a=0，
解得a=6，即Q1（3，0），
②当△OQP∽△CBO时，$\frac{OQ}{BC}$=$\frac{PQ}{OB}$，即$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}-a}{4}$，
化简，得$\frac{1}{2}$a2-3a=0，
解得a=6，即Q2（6，0），
综上所述：Q1（3，0），Q2（6，0）．
点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用三角形三边的关系得出C、O、T在同一条直线上是解题关键，利用了解二元一次方程组；（3）利用相似三角形的性质的出关于a的方程，要分类讨论，以防遗漏．
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |