Question

19．如图，已知直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，⊙O₁与x轴切于点D，与y轴切于点E，与直线AB切于点C．
（1）直接写出∠AO₁B的度数：∠AO₁B=45°；
（2）求⊙O₁的半径．

Answer 1

分析 （1）连接O₁ D，O₁ E，O₁ C，OC．首先证明Rt△O₁BE≌Rt△O₁BC，得∠EO₁ B=∠BO₁ C，同理∠DO₁ A=∠CO₁ A，再证明四边形OEO₁ D是正方形，即可解决问题．
（2）首先求出AB，根据切线长定理，OE+OD=OB+BE+OA+AD=OB+BC+OA+AC=3+4+5=12，由此即可解决问题．

解答 解：（1）连接O₁ D，O₁ E，O₁ C，OC．

∵O₁与x轴切于点D，与y轴切于点E，与直线AB切于点C，
∴O₁ E⊥OE，O₁ C⊥AB，O₁ D⊥OD，
在Rt△O₁BE和Rt△O₁BC中，
$\left\{\begin{array}{l}{{O}_{1}B={O}_{1}B}\\{{O}_{1}E={O}_{1}C}\end{array}\right.$，
∴Rt△O₁BE≌Rt△O₁BC，
∴∠EO₁ B=∠BO₁ C，同理∠DO₁ A=∠CO₁ A，
∵∠EOD=∠O₁EO=∠O₁DO=90°，
∴四边形OEO₁ D是矩形，
∵O₁E=O₁D，
∴四边形OEO₁ D是正方形，
∴∠EO₁ D=90°，
∴∠AO₁B=$\frac{1}{2}$∠EO₁D=45°；
故答案为45°．

（2）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵BE、BC是切线，
∴BE=BC，同理AC=AD，
∴OE+OD=OB+BE+OA+AD=OB+BC+OA+AC=3+4+5=12，
∵四边形OEO₁ D是正方形，
∴O₁E=OE=OD=6，
∴⊙O₁的半径为6．

点评 本题考查切线的性质，切线长定理、一次函数、勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．