Question

20．如果方程x²-4x+3=0的两根分别是Rt△ABC的两条直角边，△ABC最小的角为∠A，那么tanA的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程得到x₁=1，x₂=3，再讨论得到直角三角形的直角边，然后根据正切的定义求解．

解答 解：∵x²-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
∴x₁=1，x₂=3，
当两直角边分别为1和3时，
∵△ABC最小的角为∠A，
∴∠A所对的边为1，∠B对的边为3，
∴tanA=$\frac{1}{3}$，
当斜边为3时，另一直角边为$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵△ABC最小的角为∠A，
∴∠A所对的边为1，∠B对的边为2$\sqrt{2}$，
∴tanA=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了因式分解法解一元二次方程和锐角三角函数的定义．