Question

（2012•长春二模）如图，抛物线y=ax²+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点D（2，0）、B（8，0）．直角梯形AOBC在平面直角坐标系中，AC∥OB，点C在抛物线对称轴上，连接CD．现有两个动点P、Q分别从点A和点O同时出发，其中点P以每秒1个单位的速度，沿AO向终点O运动；点Q以每秒2个单位的速度沿OB向终点B运动．过点P作PE∥AC交CD于点E．设P、Q两点运动时间为t（秒）．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）求CD的长，并用含有t的代数式表示DE的长．
（3）若点N在x轴下方的抛物线上，当t为何值时，四边形APNQ为平行四边形．
（4）当△EDQ为直角三角形时，请直接写出t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）作CM⊥DB于点M，在直角△CND中，利用勾股定理即可求得CD的长；作EF⊥DB于点F，则△CMD∽△EFD，利用相似三角形的对应边的比相等即可求得DE的长；
（3）若四边形APNQ为平行四边形，则AP=QN，据此即可得到一个关于t的方程求得t的值；
（4）△EDQ为直角三角形应分两种情况进行讨论：当∠EQD时直角，和∠DEQ是直角两种情况进行讨论，利用勾股定理即可得到关于t的方程，解得t的值．

解答：解：（1）∵点D（2，0）和B（8，0）在抛物线上，
∴

4a+2b+4=0 64a+8b+4=0.

解得

a= 1 4 b=- 5 2

∴这条抛物线的解析式为y=

1

4

x2-

5

2

x+4．（2分）
（2）作CM⊥DB于点M．由题意得，CM=OA=4，DM=5-2=3．
∴在Rt△CMD中，CD=

32+42

=5．（3分）
作EF⊥DB于点F，则△CMD∽△EFD．

DE

5

=

4-t

4

，
∴DE=5-

5

4

t．（5分）
（3）若四边形APNQ为平行四边形，则AP=QN．
∴t=-[

1

4

(2t)2-

5

2

(2t)+4]，
解得t₁=t₂=2．
∴当t=2时，四边形APNQ为平行四边形．（8分）
（4）当∠EQD=90°时，Q与F点重合，
∵△CDM∽△EDF，则

EF

CM

=

DE

CD

，即

EF

4

=

5- 5 4 t

5

，则EF=4-t，
根据勾股定理得：（5-

5

4

t）²=（4-t）²+（2t-2）²，解得：t=

20

11

；
当∠DEQ=90°时，△DEQ∽△DMC，则

EQ

CM

=

DE

DM

，则

EQ

4

=

5- 5 4 t

2t-2

，
解得：EQ=

20-5t

2t-2

，
在直角△EQD中，利用勾股定理可得：（5-

5

4

t）²+（

20-5t

2t-2

）²=（2t-2）²，解得：t=

124

49

．
故t=

20

11

或t=

124

49

．（10分）

点评：本题考查了二次函数的性质，以及相似三角新的判定与性质，勾股定理，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．