Question

已知一次函数y₁=x+m的图象与反比例函数y₂=

6

x

的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．双曲线在第一象限上有一点C到x轴的距离为2
（1）求一次函数的解析式和△ABC的面积．
（2）若在第三象限的双曲线上有点P（异于点B），使S_△PAC=S_△ABC，则点P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，即可求得A的横坐标，进而求得A的坐标，求得直线的解析式，则B的坐标可以求得，过B作BF⊥y轴于点F，作CD⊥BF，AE⊥BF分别于点D、E，根据S_△ABC=S_△ABE+S_梯形AEDC-S_△BCD即可求得△ABC的面积；
（2）首先求得直线AC的解析式，S_△PAC=S_△ABC，则BP∥AC，即可求得BP的解析式，进而求得P的坐标．

解答：解：（1）∵当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴A的横坐标是1，把x=1代入y=

6

x

，则y=6，即A的坐标是（1，6），
把（1，6）代入y=x+m得：6=1+m，
解得：m=5，
则一次函数的解析式是：y=x+5；
解方程组

y=x+5 y= 6 x

，得

x=1 y=6

或

x=-6 y=-1

，
则B的坐标是（-6，-1）．
过B作BF⊥y轴于点F，作CD⊥BF，AE⊥BF分别于点D、E．则D的坐标是（3，-1），E的坐标是（1，-1）．
BD=9，BE=7，AE=7．
则S_△ABE=

1

2

AE•BE=

1

2

×7×7=

49

2

，
S_△BCD=

1

2

BD•CD=

1

2

×9×3=

27

2

，
S_梯形AEDC=

1

2

（AE+CD）•ED=

1

2

（7+3）×2=10，
则S_△ABC=S_△ABE+S_梯形AEDC-S_△BCD=

49

2

+10-

27

2

=21；
（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，
则

k+b=6 3k+b=2

，
解得：

k=-2 b=8

，
则直线AC的解析式是y=-2x+8．
设PB的解析式是y=-2x+c，把（-6，-1）代入解析式得：12+c=-1，
解得：c=-13．
则PB的解析式是y=-2x-13，
解方程组

y=-2x-13 y= 6 x

，
解得：

x=- 1 2 y=-12

或

x=-6 y=-1

．
故P的坐标是（-

1

2

，-12）．
故答案是：（-

1

2

，-12）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．