Question

在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于点G，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，∠EAC=∠DEF．
（1）当点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．
①求证：∠EGC=∠AEC；
②若DF=3，求BE的长度；
（2）当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的长度．

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）如图1，①易证△ACE≌△EFD，则有∠AEC=∠EDF，再由DF∥AC可得∠EGC=∠EDF，即可得到∠EGC=∠AEC；②由DF∥AC可得△BDF∽△BAC，结合D为AB的中点，运用相似三角形的性质可得BF=CF，AC=2DF=6，由△ACE≌△EFD可得AC=EF=6，CE=FD=3，就可得到FC、BF的值，从而可求出BE的值；
（2）如图2，易证△ACE≌△EFD，则有CE=FD=10，AC=EF．由DF∥AC可得△DEF∽△GEC，结合5EG=2DE，CE=FD=10，运用相似三角形的性质可得EF=25，GC=4，就可得到AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21．

解答：解：（1）如图1，
①证明：∵DF∥AC，
∴∠DFE=∠ACE．
在△ACE和△EFD中，

∠EAC=∠DEF ∠ACE=∠EFD AE=ED

，
∴△ACE≌△EFD（AAS），
∴∠AEC=∠EDF．
∵DF∥AC，
∴∠EGC=∠EDF，
∴∠EGC=∠AEC；
②∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

BF

BC

=

DF

AC

=

BD

BA

．
∵D为AB的中点，
∴

BD

BA

=

1

2

，
∴BF=

1

2

BC，DF=

1

2

AC．
∴BF=CF，AC=2DF=6，
∵△ACE≌△EFD，
∴AC=EF=6，CE=FD=3．
∴BF=FC=EF-CE=3，
∴BE=9；

（2）∵DF∥AC，
∴∠ACE=∠EFD．
在△ACE和△EFD中，

∠EAC=∠DEF ∠ACE=∠EFD AE=ED

，
∴△ACE≌△EFD（AAS），
∴CE=FD=10，AC=EF．
∵DF∥AC，
∴△DEF∽△GEC，
∴

EF

EC

=

DF

GC

=

DE

GE

．
∵5EG=2DE，CE=FD=10，
∴EF=25，GC=4，
∴AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证到△ACE≌△EFD是解决本题的关键．