Question

已知一个直角三角板PMN，∠MPN＝30°，MN＝2，使它的一边PN与正方形ABCD的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为______________.

Answer 1

或.

试题分析：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、以及解直角三角形.解答此题的关键也是难点在于区分△PMN的顶点不在直线BC上和在在直线BC上两种情况讨论求解.解直角三角形求出正方形的边长AD的长度，
由∠MPN=30°，MN=2，得AD=MN•cot∠MPN=2×cot30°=.然后分两种情况：①点F在BC上，点N不在BC上时，根据旋转的性质可得AF=AM，利用“HL”证明Rt△ABF和Rt△ADM全等，进而可得BF=DM，从而得到CF=CM=CD-DM=；②点F、B都在直线BC上时，根据旋转的性质可得BF=MN=2，然后根据CF=BC+BF=．所以CF的长为或.