Question

1．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=2，tanB=$\frac{1}{8}$．
（1）求BC的长；
（2）求tan15°的值（保留根号）

Answer 1

分析 （1）作辅助线AD⊥BC，交BC的延长线于点D，然后根据在△ABC中，∠C=150°，AC=2，tanB=$\frac{1}{8}$，可以求得∠ACD的度数，从而可以得到AD、CD、BD的长，进而求得BC的长；
（2）作辅助线CE=AC，可以得到∠AEC=15°，然后求出tan∠AEC的值即可解答本题．

解答 解：（1）作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如右图所示，
∵在△ABC中，∠C=150°，AC=2，tanB=$\frac{1}{8}$，AD⊥BC，
∴∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}AC$=1，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{AD}{tanB}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$，
∴BC=BD-CD=8-$\sqrt{3}$；
（2）在BC上截取线段CE=AC，如右上图所示，
∵∠C=150°，
∴∠AEC=∠EAC=15°，
∵AD⊥BC，AC=2，CE=AC，AD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴∠ADE=90°，EC=2，
∴ED=EC+CD=2+$\sqrt{3}$，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{ED}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，
即 tan15°=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解直角三角形，解答此类问题的关键是作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和勾股定理解答．