Question

关于二次函数y=3x²-kx+k-3，以下结论：
①抛物线交x轴有两个不同的交点；
②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；
③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=9；
④抛物线的顶点在y=-3（x-1）²图象上．
中正确的序号是（　　）

• A、①②③④
• B、②③
• C、②④
• D、①②④

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：①计算出△，根据△的值进行判断；
②令k=3和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证；
③根据两点间的距离公式列出方程解答；
④求出顶点坐标，代入即可验证．

解答：解：∵①△=k²-4×3（k-3）
=k²-12k+36
=（k-6）²≥0，
∴抛物线交x轴有两个不同的交点或有一个交点，故本选项错误；
②令k=3和k=0，得到方程组：

3x2-3x=y 3x2-3=y

，解得

x=1 y=0

，
将

x=1 y=0

代入y=3x²-kx+k-3得，3-k+k-3=0，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（1，0），故本选项正确；
③∵AB=1，
∴

k2-4×3×(k-3)

3

=1，
解得，k-6=9，
k=15，故本选项错误；
④抛物线y=3x²-kx+k-3的顶点坐标为（

k

6

，

-k2+12k-36

12

），将x=

k

6

代入y=-3（x-1）²得，
y=-3（

k

6

-1）²=

-k2+12k-36

12

，故本选项正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的性质，熟悉函数函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．