Question

4．如图，AB、CD是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，且∠AMN=∠CNM．
（1）OM与ON相等吗？为什么？
（2）判断AB与CD是否相等，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据等角的余角相等可得∠OMN=∠ONM，再由等角对等边可得ON=OM；
（2）连接OA，OC，先根据垂径定理得出AM=$\frac{1}{2}$AB，CN=$\frac{1}{2}$CD，再由OM=ON，OA=OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM=CN，由此即可得出结论．

解答 解：（1）MO=NO，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO=∠CNO=90°，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠OMN=∠ONM，
∴MO=NO；

（2）连接OA，OC，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB，CN=$\frac{1}{2}$CD，∠AMO=∠CNO=90°，
在Rt△AOM与Rt△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{MO=NO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM=CN，
∴AB=CD．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．