Question

10．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形；
（3）若AC=BD，求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线判断EF=HG，EF∥HG即可；
（2）利用三角形的中位线和垂直判定出∠FEH=90°即可；
（3）利用三角形的中位线和对角线相等，判断出EF=EH即可．

解答 证明：（1）点E，F分别是四边形ABCD的边AD，AB中点，
∴EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
同理：HG∥BD，HG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形RFGH是平行四边形，
（2）∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵同（1）的方法，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
由（1）有四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形，
（3）同（1）方法得，EH=$\frac{1}{2}$AC，
由（1）得，EF=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理和平行四边形，矩形菱形的判定方法，解本题的关键是判断四边形EFGH是平行四边形．