Question

定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S₁和S₂．
①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S₁=S₂．
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S₁与S₂是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质

专题：综合题

分析：（1）由正方形的性质可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，就可以得出△ABC≌△DFC而得出结论；
（2）如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出结论；
（3）如图 1，根据（2）可以得出S=3S_△ABC，要使S最大，就要使S_△ABC最大，当∠AVB=90°时S_△ABC最大，就可以求出结论．

解答：（1）证明：如图1，∵正方形ACDE和正方形BCFG，
∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠DCF=90°，
∴∠ACB=∠DCF=90°．
在△ABC和△DFC中，

AC=DC ∠ACB=∠DCF BC=FC

，
∴△ABC≌△DFC（SAS）．
∴S_△ABC=S_△DFC，
∴S₁=S₂．          
                                         
（2）S₁=S₂．                                                        
理由如下：
解：如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．
∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，
∴AC=CD，BC=CF，
∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°．
∴∠ACP=∠DCQ．
在△APC和△DQC中

∠APC=∠DQC ∠ACP=∠DCQ AC=DC

，
∴△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
∴BC×AP=DQ×FC，
∴

1

2

BC×AP=

1

2

DQ×FC
∵S₁=

1

2

BC×AP，S₂=

1

2

FC×DQ，
∴S₁=S₂；  
                                              
（3）由（2）得，S是△ABC面积的三倍，
要使S最大，只需三角形ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°时，S有最大值．       
此时，S=3S_△ABC=3×

1

2

×3×4=18．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．