Question

如图，点A在x轴正半轴上OB=4，∠AOB=30°，BA⊥x轴于A．
（1）画出△AOB绕点O逆时针旋转后90°后的图形；
（2）直接写出旋转变换后点B的对应点B′的坐标；
（3）求旋转过程中线段OA、OB所扫过的重叠部分的面积．

Answer 1

考点：作图-旋转变换

专题：

分析：（1）在y轴正半轴上截取OA′=OA，过点A′作A′B′⊥y轴，截取A′B′=AB，连接OB′，即为旋转后的三角形；
（2）解直角三角形求出AB，再根据点B′在第二象限写出坐标即可；
（3）求出∠A′OB，再根据图形，重叠部分为以OA′为半径以∠A′OB为圆心角的扇形，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后的△A′OB′如图所示；

（2）∵OA=4，∠AOB=30°，
∴AB=OA•tan30°=4×

3

3

=

4 3

3

，
∴点B′（-

4 3

3

，4）；

（3）∵∠AOB=30°，
∴∠A′OB=90°-30°=60°，
∴线段OA、OB所扫过的重叠部分的面积=

60π×42

360

=

8

3

π．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积公式，坐标与图形变化-旋转，熟记旋转的性质确定出点A′、B′的位置是解题的关键．