Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，由角平分线的性质，结合平行线的性质；易证得OE⊥CD；故可得CD是⊙O的切线．
（2）设r是⊙O的半径，在Rt△CEO中，CO²=OE²+CE²，进而有OE∥AD可得△CEO∽△CDA，可得比例关系式，代入数据可得答案．

解答：（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠DAE．（1分）
∵OE=OA，
∴∠BAE=∠OEA．（2分）
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．（3分）
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．（4分）

（2）解：设r是⊙O的半径，
在Rt△CEO中，CO²=OE²+CE²，（5分）
即（2+r）²=r²+4²，
解得r=3．（6分）
∵OE∥AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴

CO

AC

=

OE

AD

=

CE

CD

，（7分）
即

5

8

=

3

AD

=

4

4+ED

．
解得AD=

24

5

，ED=

12

5

．（8分）
∴AE=

AD2+ED2

=

( 24 5 )2+( 12 5 )2

=

12

5

5

．（9分）

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．