Question

阅读下面的文字，回答后面的问题．
求3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值．
解：令S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹（2），（2）-（1）得到：2S=3¹⁰¹-3
∴
问题（1）求2+2²+…+2¹⁰⁰的值；
（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值；
（3）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去…一直作图到第10个图形为止．已知正方形ABCD的边长为1，求所有的正方形的所有边长之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中所给的S的表达式及同底数幂的乘法法则求出2S的表达式，再把两式相减即可求出S的值；
（2）先求出3+3²+3³+…+3⁴⁰的值，再乘以4即可求出4+12+36+…+4×3⁴⁰的值；
（3）由题意可知一直作图到第10个图形为止的所有的正方形的所有边长之和即为求4×[1++（）²+…+（）⁹]的值，令S=1++（）²+…+（）⁹，根据同底数幂的乘法法则求出S的表达式，再把两式相减即可求出S的值，从而所有的正方形的所有边长之和．
解答：解：（1）∵S=2+2²+…+2¹⁰⁰①，
∴2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，
由②-①：S=2¹⁰¹-2；

（2）令S=1+3+3²+3³+…+3⁴⁰①，将等式两边提示乘以3得到：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3⁴¹②，
②-①得到：2S=3⁴¹-1，
∴S=．
∴4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）=2（3⁴¹-1）；

（3）所有的正方形的所有边长之和为4×[1++（）²+…+（）⁹]，
令S=1++（）²+…+（）⁹①、
S=+（）²+…+（）¹⁰②，
②-①得到：（-1）S=32-1=31，S=31×（+1）．
故所有的正方形的所有边长之和为4×31×（+1）=124+124．
点评：本题考查的是有理数的乘方及同底数幂的乘法法则，根据题意求出乘以底数后和的表达式是解答此题的关键．