Question

如图，O是圆心，AB是半圆的直径，CD⊥AB，DE⊥OC，如果BD、CD的长都是有理数，那么图中长为有理数的线段还有

 

条．

Answer 1

分析：连接AC，BC，证△ADC∽△CDB，得到比例式，求出AD、OA、OB、OC、OD都是有理数，证△CDE∽△COD，得到比例式，求出CE、OE是有理数，根据三角形的面积公式求出DE是有理数，即可得到答案．

解答：解：如右图，连接AC，BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=∠CDA=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

CD

AD

=

BD

CD

，
CD²=AD•BD，
∵BD、CD的长都是有理数，
∴AD是有理数，
∵AB=AD+BD，
∴AB是有理数，
∴OA、OB、OC、OD都是有理数，
∵CD⊥OD，DE⊥OC，
∴∠CDO=∠CED=90°，
∵∠DCE=∠DCO，
∴△CDE∽△COD，
∴

CD

CE

=

CO

CD

，
CD²=CE•OC，
∵CD、OC是有理数，
∴CE是有理数，
∴OE是有理数，
根据三角形的面积公式得：

1

2

CD×OD=

1

2

OC×DE，
∴DE是有理数．
综上可知：AD、AB、OA、OB、OC、OD、DE、OE、CE的长为有理数，
故答案为：9．

点评：本题主要考查对圆周角定理，三角形的面积，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．