Question

某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．
若只在甲城市销售，销售价格为y（元/件）、月销量为x（件），y是x的一次函数

月销量x（件）	1500	2000
销售价格y（元/件）	185	180

成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72500元，设月利润为W_甲（元）（利润=销售额-成本-广告费）．
若只在乙城市销售，销售价格为200 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，40≤a≤70），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

1

100

x2元的附加费，设月利润为W_乙（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）当x=1000 时，y=

 

元/件，w _甲=

 

元；
（2）分别求出W_甲，W_乙与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在甲城市销售的月利润最大？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a 的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：应用题

分析：（1）设y=kx+b，将表格中的两点代入可确定y与x的函数关系式，令x=1000，可得出y；根据销量及售价，可得出w_甲；
（2）根据甲城市的销售方法可得出w_甲与x的函数关系式，根据题意所述乙城市的销售方法，可得出W_乙与x的函数关系式．
（3）利用配方法可求出甲的利润最大值，由在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，可得出关于a的方程，解出即可；
（4）计算出x=5000时，两城市销售的利润，然后利用不等式的知识进行作答即可．

解答：解：（1）设y_甲=kx+b，将点（1500，185），（2000，180）代入可得：

1500k+b=185 2000k+b=180

，
解得：

k=- 1 100 b=200

，
则设y_甲=-

1

100

x+200，
当x=1000时，y=190元/件；
w_甲=x（y-50）=1000×（140）-72500=67500元；
（2）w_甲=x（y-50）-72500=-

1

100

x²+150x-72500；
w_乙=-

1

100

x²+（200-a）x；
（3）w_甲=-

1

100

x²+150x-72500=-

1

100

（x-7500）²+490000；
当x=7500时，w_甲取得最大；
若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，则可得490000=

0-(200-a)2

4×(- 1 100 )

，
解得：a₁=60，a₂=340（不合题意，舍去）．
答：当x=7500时，w_甲最大，若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，a的值为60元/件．
（4）当x=5000时，w_甲=427500，w_乙=-5000a+750000，
若w_甲＜w_乙，则a＜64.5；
若w_甲=w_乙，则a=64.5；
若w甲＞w乙，则a＞64.5；
所以，当40≤a＜64.5时，选择在乙销售；
当a=64.5时，在甲和乙销售都一样；
当64.5＜a≤70时，选择在甲销售．

点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际，利用函数知识解题，难度一般．